教科書を参照しながら学びましょう。

データの記述と要約

§1.1 変数の分類

変数

調査・観察される項目のこと。

例として、身長、体重、サイコロの目などがある。 変数は「量的変数」、「質的変数」に分けることができる。 さらに、量的変数は「連続変数」、「離散変数」に分けられる。

量的変数

変数が数値で表される変数のこと。

・要約統計量を算出することができる。
・さらに、身長、体重のような「連続変数」とサイコロの目のような「離散変数」に分類される。

質的変数（カテゴリ変数）

数値でなく、カテゴリで示される変数のこと。

・例として、性別、成績評価（秀優良可）などがある。

§1.2 量的データの分布

データを解析する際にはデータの可視化が大切である。データの可視化をすることでデータの挙動を大まかに把握することができる。

量的変数の可視化 −→ ヒストグラム、箱ひげ図、幹葉図、ローレンツ曲線

質的変数の可視化 −→ 棒グラフ、円グラフ

ヒストグラム

ある一つの量的変数を可視化するための代表的方法である。度数分布表をグラフにしたもの。

ヒストグラムの作成
1. 変数を適切な区間（「階級」と呼ばれる）で分割する。
2. 階級に含まれる変数の数（「度数」と呼ばれる）を数え上げる。
3. 横軸が階級、縦軸が度数とし、柱状グラフを作成する。

幹葉図

ヒストグラムと同様の効果をもつグラフ

・比較的サンプルサイズが小さい場合に用いる。

§1.3 分布の特徴を表す指標

$n$ 個の観測値 $x_1$, $x_2$, … , $x_n$ の特徴を表すいくつかの値を以下のように定義する。

平均値

${\displaystyle \overline{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}(x_1+x_2+\cdots +x_n)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i}$

中央値

観測値を小さい順に並べて真ん中に位置する観測値

最頻値

最も多く観測された観測値

・平均値、中央値、最頻値のみっつを「代表値」と呼ぶ。
・平均は全データの重心である
・分布が左右対称(例えば正規分布)の場合には　平均 = 中央値 = 最頻値　となる。
・右に裾が長い分布の場合には、一般に　最頻値 < 中央値 < 平均　となる。

偏差

$x_i$ の偏差
$x_i–\overline{x}$

分散

${\displaystyle s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{\left(x_i–\overline{x}\right)}^2}$

不偏分散

${\displaystyle s^2={\displaystyle \frac{1}{n-1}}\sum _{i=1}^n{\left(x_i–\overline{x}\right)}^2}$

・分散と標準偏差はデータの散らばりを表す。
・不偏分散を単に分散と呼ぶことがある。分散と不偏分散の使い分けはのちの講義で現れる。

標準偏差

${\displaystyle s=\sqrt{s^2}}$

標準化得点

$x_i$ の標準化得点

${\displaystyle z_i={\displaystyle \frac{x_i–\overline{x}}{s}}}$

・平均と標準偏差を用い、各データがどの程度平均から離れているかを標準偏差をもって測る。
・例として、偏差値を算出する際に用いられる。

変動係数

$\mathrm{変}\mathrm{動}\mathrm{係}\mathrm{数}={\displaystyle \frac{s}{\overline{x}}}$

・データのばらつきを相対評価するための値。
・単位が異なるものを比較するときに用いる。

§1.3 の練習問題

次のデータの平均値と不偏分散、中央値を求めよう。

$80,40,50,56,65,90,85,55,75,70,60$

自分で解答を作ってから、下の「解答例」をクリックもしくはタップしてください。

§1.4 量的データの要約とグラフの表現

教科書の該当箇所を一読しよう。

§1.5 質的データの度数分布とグラフの表現

教科書の該当箇所を一読しよう。

§1.6 2変数データの記述と要約

教科書の該当箇所を読んで、散布図、正の相関、負の相関を学ぶ。

$n$ 個の観測値が $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, … , $(x_n,y_n)$ であるとする。このとき、$x_1$, $x_2$, … , $x_n$ の平均を $\overline{x}$、標準偏差を $s_x$ と書き、$y_1$, $y_2$, … , $y_n$ の平均を $\overline{y}$、標準偏差を $s_y$ と書く。

共分散

${\displaystyle s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n\left(x_i–\overline{x}\right)\left(y_i–\overline{y}\right)}$

もしくは

${\displaystyle s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n-1}}\sum _{i=1}^n\left(x_i–\overline{x}\right)\left(y_i–\overline{y}\right)}$

相関係数

${\displaystyle r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}}}$

・相関関係と因果関係は異なる概念である。
・相関係数は −1 ∼ 1 の間の値をとる。

回帰直線はのちの授業で学ぶ。教科書の該当箇所を読んで、クロス集計表を理解しよう。

§1.6 の練習問題

5個のデータ $(5,9)$, $(1,1)$, $(4,3)$, $(7,12)$, $(3,5)$ について、次の問いに答えよう。

1. 横軸に$x$、縦軸に$y$をとり、このデータの散布図を描こう。
2. それぞれの不偏分散、共分散、相関関係を求めよう。

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§1.7 時系列データの記述と簡単な分析

教科書の該当箇所を読もう。（このセクションは勉強しなくても良い？）