理系基礎科目「数学I（微分積分A）」「数学概論A」「数学概論」の問題演習です。

極限

数列の極限

1. ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2-2n+1}{2n^2+4n-1}}$
   
   解答例

   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2-2n+1}{2n^2+4n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\displaystyle 3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{{\displaystyle 2+4\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}}=\frac{3}{2}}$

2. ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$
   
   解答例

   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0}$

3. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$
   
   解答例

   $\begin{array}{rcl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}}& =& {\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{2}(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)})}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}(\left(\frac{1}{1\cdot 2}–\frac{1}{2\cdot 3}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 3}–\frac{1}{3\cdot 4}\right)+\cdots +(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}))}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})}\end{array}$

   が成り立つので，

   ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{4}}$

   が成り立つ。

関数の極限

1. ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x-1}{x^3-1}}$
   
   解答例

   ${\displaystyle \frac{x-1}{x^3-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{1}{x^2+x+1}}$

   が成り立つので，

   ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x-1}{x^3-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1}{3}}$

   が成り立つ。

2. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\tan x}{x-\sin x}}$
   
   解答例

   ロピタルの定理を使うことができる条件を満たすことをひとつひとつ確認しなければなりません。解答例にはわざわざ書きませんが，みなさんはひとつひとつ確認をしてください。

   ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\tan x}{x-\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}}{1–\cos x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\cos }^{2}x-1}{{\cos }^{2}x(1-\cos x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x(1–\cos x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-2\sin x\cos x}{2\cos x(-\sin x)(1–\cos x)+{\cos }^{2}x\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-2}{-2(1-\cos x)+\cos x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{2-3\cos x}=-2}$

3. ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\log (1+e^x)}{x}}$
   
   解答例

   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\log (1+e^x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}{e}^x}}{1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{1+e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}1=1}$

4. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}}$
   
   解答例

   ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\log ((\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}})=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\log (\cos x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{-\sin x}{\cos x}}}{2x}=\underset{x\to 0}{lim}-\frac{1}{2}\frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x}=–\frac{1}{2}}$

   となる。$e^x$ は連続関数なので，，

   ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0}{lim}{e}^{{\displaystyle \log ((\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}})}}=e^{{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\log ((\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}})}}=e^{-\frac{1}{2}}}$
   

微分

導関数

1. ${\displaystyle {\cos }^2(4x+5)}$
   
   解答例

   ${\displaystyle {({\cos }^2(4x+5))}^{\prime }=(2\cos (4x+5))(\cos (4x+5{)}^{\prime }=(2\cos (4x+5))(-\sin (4x+5)\cdot (4x+5{)}^{\prime })=2\cos (4x+5)(–\sin (4x+5))\cdot 4=-8\cos (4x+5)\sin (4x+5)}$

2. ${\displaystyle \frac{1}{a}{\tan }^{-1}\frac{x}{a}}$
   
   解答例

   ${\displaystyle {(\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\frac{x}{a})}^{\prime }=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{{\displaystyle 1+{\left(\frac{x}{a}\right)}^2}}\cdot {\left(\frac{x}{a}\right)}^{\prime }=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{{\displaystyle 1+{\left(\frac{x}{a}\right)}^2}}\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{x^2+a^2}}$

3. ${\displaystyle e^{\sin x}}$
   
   解答例

   ${\displaystyle {\left(e^{\sin x}\right)}^{\prime }=e^{\sin x}\cdot \cos x}$

4. ${\displaystyle x^{\left(e^x\right)}}$（$x>0$）
   
   解答例

   $y=x^{(e^x)}$ と定義する。$x>0$ なので，$x^{(e^x)}>0$ が成り立つ。このとき，

   $\log y=\log \left(x^{(e^x)}\right)=e^x\log x$

   が成り立つ。よって，

   ${\displaystyle (\log y{)}^{\prime }={(e^x\log x)}^{\prime }=e^x\log x+e^x\frac{1}{x}}$

   となる。$y$ は $x$ についての関数であり，${}^{\prime }$ は $x$ についての関数を $x$ で微分することであるので，${\displaystyle (\log y{)}^{\prime }=\frac{1}{y}{y}^{\prime }}$ が成り立つ。よって，

   ${\displaystyle y^{\prime }=y(\log y{)}^{\prime }=y(e^x\log x+e^x\frac{1}{x})=x^{(e^x)}(e^x\log x+e^x\frac{1}{x})}$

   が成り立つ。
   

マクローリン展開

次の関数の有限マクローリン展開を剰余項 $R_5(x)$ を含めて$5$次の項まで求めよう。

1. ${\displaystyle \sqrt{1-x}}$
   
   解答例

   $f(x)=\sqrt{1-x}$ とする。こう書くのだから，$x$ の範囲は $(-\mathrm{\infty },1]$ の区間であることに注意しよう。以下のような微分のリストを作り，マクローリン展開の公式

   $f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x{\displaystyle +\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}{x}^2+\frac{f^{(3)}(0)}{6}{x}^3+\frac{f^{(4)}(0)}{24}{x}^4+R_5(x)}$

   に当てはめれば良い。

   $\begin{array}{ll}f(x)=\sqrt{1-x}=(1-x{)}^{\frac{1}{2}},& f(0)=1,\\ f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2}(-1)(1-x{)}^{-\frac{1}{2}},}& f^{\prime }(0)={\displaystyle –\frac{1}{2},}\\ f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-1{)}^2(1-x{)}^{-\frac{3}{2}},}& f^{\prime \prime }(0)=–{\displaystyle \frac{1}{4},}\\ f^{(3)}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})\left(–\frac{3}{2}\right)(-1{)}^3(1-x{)}^{-\frac{5}{2}},}& f^{(3)}(0)={\displaystyle –\frac{3}{8},}\\ f^{(4)}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})\left(–\frac{3}{2}\right)(-1{)}^4\left(–\frac{5}{2}\right)(1-x{)}^{-\frac{7}{2}},}& f^{(4)}(0)=–{\displaystyle \frac{15}{16}.}\end{array}$

   よって，

   $\sqrt{1-x}=f(x)={\displaystyle 1–\frac{1}{2}x–\frac{1}{8}{x}^2–\frac{1}{16}{x}^3–\frac{5}{128}{x}^4+R_5(x)}$

2. ${\displaystyle \log (1+2x)}$
   
   解答例

   $f(x)=\log (1+2x)$ とする。こう書くのだから，$x$ の範囲は $(-\frac{1}{2},\mathrm{\infty })$ の区間である。

   $\begin{array}{ll}f(x)=\log (1+2x),& f(0)=0,\\ f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{1+2x}=2(1+2x{)}^{-1},}& f^{\prime }(0)={\displaystyle 2,}\\ f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle (-1)2^2(1+2x{)}^{-2},}& f^{\prime \prime }(0)=–{\displaystyle 4,}\\ f^{(3)}(x)={\displaystyle (-1)(-2)2^3(1+2x{)}^{-3},}& f^{(3)}(0)={\displaystyle 16,}\\ f^{(4)}(x)={\displaystyle (-1)(-2)(-3)2^4(1+2x{)}^{-4},}& f^{(4)}(0)={\displaystyle –96.}\end{array}$

   よって，

   $\log (1+2x)=f(x)={\displaystyle 2x–2x^2+\frac{8}{3}{x}^3–4x^4+R_5(x)}$

積分

不定積分

1. ${\displaystyle \int (ax+b{)}^{4}dx}$
   
   解答例

   $(ax+b{)}^4$ を展開してから多項式の積分をしても良いですけれども，せっかくですから置換積分をしましょう。以下，$C$ は常に積分定数とします。

   $t=ax+b$ とすると，${\displaystyle \frac{dt}{dx}=a}$ である。

   ${\displaystyle \int (ax+b{)}^{4}dx=\int (ax+b{)}^4\frac{1}{a}\cdot adx=\int t^4\frac{1}{a}dt=\frac{t^5}{5a}+C=\frac{(ax+b{)}^5}{5a}+C}$

2. ${\displaystyle \int x\sin x\cos xdx}$
   
   解答例

   部分積分の練習問題です。でもちょっとした工夫が必要です。$\sin 2x=2\sin x\cos x$ であることを思い出しましょう。

   ${\displaystyle \int x\sin x\cos xdx=\int \frac{x}{2}\sin 2xdx=\frac{x}{2}\left(–\frac{\cos 2x}{2}\right)–\int \frac{1}{2}\left(–\frac{\cos 2x}{2}\right)dx=–\frac{x\cos 2x}{4}+\frac{\sin 2x}{8}+C}$

3. ${\displaystyle \int \frac{x-2}{x^3+1}dx}$
   
   解答例

   ${\displaystyle \frac{x-2}{x^3+1}=\frac{x-2}{(x+1)(x^2–x+1)}=\frac{x-1}{x^2-x+1}–\frac{1}{x+1}}$

   という式変形ができたでしょうか。積分の計算のために，もう一歩踏み込んで，

   ${\displaystyle \frac{x-1}{x^2-x+1}–\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2x-1}{x^2-x+1}–\frac{1}{x^2–x+1}\right)–\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2x-1}{x^2-x+1}–\frac{1}{{\displaystyle {(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}}}\right)–\frac{1}{x+1}}$

   まで計算をしておきましょう。

   ${\displaystyle \int \frac{x-2}{x^3+1}dx=\int \left(\frac{1}{2}\left(\frac{2x-1}{x^2-x+1}–\frac{1}{x^2–x+1}\right)–\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac{1}{2}\log |x^2–x+1|–\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x–\frac{1}{2}\right)–\log |x+1|+C}$

4. ${\displaystyle \int \frac{\sqrt[3]{x}}{x+1}dx}$
   
   解答例

   $x=t^3$ とすると，${\displaystyle \frac{dx}{dt}=3t^2}$ です。

   ${\displaystyle \int \frac{\sqrt[3]{x}}{x+1}dx=\int \frac{t}{t^3+1}3t^{2}dt=\int \left(3–\frac{3}{t^3+1}\right)dt=\int (3+\frac{t-2}{t^2–t+1}–\frac{1}{t+1})dt=\int (3+\frac{1}{2}\frac{2t-1}{t^2–t+1}–\frac{3}{2}\frac{1}{t^2–t+1}–\frac{1}{t+1})dt=\int (3+\frac{1}{2}\frac{2t-1}{t^2–t+1}–\frac{3}{2}\frac{1}{{\displaystyle {(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}}}–\frac{1}{t+1})dt=3t+\frac{1}{2}\log |t^2-t+1|–\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{2}{\sqrt{3}}\left(t–\frac{1}{2}\right)–\log |t+1|+C=3\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2}\log |\sqrt[3]{x^2}–\sqrt[3]{x}+1|–\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\sqrt[3]{x}–\frac{1}{2}\right)–\log |\sqrt[3]{x}+1|+C}$

定積分