「数学II(線形代数A)」

理系基礎科目「数学II(線形代数A)」の問題演習です。なお、記法は教科書に準じています。

和とスカラー倍、積

次の行列の計算をしよう。

  1. $\displaystyle
    2
    \left[
    \begin{array}{rrr}
    3 & 1 & 2 \\
    -1 & 2 & 3 \\
    \end{array}
    \right] -3
    \left[
    \begin{array}{rrr}
    4 & -1 & -2 \\
    5 & 2 & -3 \\
    \end{array}
    \right]$

    解答例

    $\displaystyle
    2
    \left[
    \begin{array}{rrr}
    3 & 1 & 2 \\
    -1 & 2 & 3 \\
    \end{array}
    \right] -3
    \left[
    \begin{array}{rrr}
    4 & -1 & -2 \\
    5 & 2 & -3 \\
    \end{array}
    \right]$

    $=
    \left[
    \begin{array}{rrr}
    6 & 2 & 4 \\ -2 & 4 & 6
    \end{array}
    \right] +
    \left[
    \begin{array}{rrr}
    -12 & 3 & 6 \\ -15 & -6 & 9
    \end{array}
    \right]$

    $=
    \left[
    \begin{array}{rrr}
    -6 & 5 & 10 \\ -17 & -2 & 15
    \end{array}
    \right] $

  2. $\displaystyle
    \left[\delta_{i,j}\right]^{(3,4)}_{i,j}
    +
    \left[\delta_{i,j-1}\right]^{(3,4)}_{i,j}$

    解答例

    $\displaystyle
    \left[\delta_{i,j}\right]^{(3,4)}_{i,j}
    +
    \left[\delta_{i,j-1}\right]^{(3,4)}_{i,j}
    $

    $=
    \left[
    \begin{array}{rrrr}
    1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0
    \end{array}
    \right] +
    \left[
    \begin{array}{rrrr}
    0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1
    \end{array}
    \right] $

    $=
    \left[
    \begin{array}{rrrr}
    1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1
    \end{array}
    \right] $

  3. $\displaystyle
    \left[\begin{array}{rrr}
    4 & 1 & -5 \\
    2 & -1 & 1
    \end{array}
    \right] \left[\begin{array}{rr}
    5 & 1 \\
    2 & -3 \\
    -1 & 2
    \end{array}
    \right]$

    解答例

    $\displaystyle
    \left[\begin{array}{rrr}
    4 & 1 & -5 \\
    2 & -1 & 1
    \end{array}
    \right] \left[\begin{array}{rr}
    5 & 1 \\
    2 & -3 \\
    -1 & 2
    \end{array}
    \right]$

    $=
    \left[\begin{array}{rr}
    27 & -9 \\ 7 & 7
    \end{array}
    \right] $

  4. $\displaystyle
    \left[\begin{array}{rr}
    5 & 1 \\
    2 & -3 \\
    -1 & 2
    \end{array}
    \right] \left[\begin{array}{rrr}
    4 & 1 & -5 \\
    2 & -1 & 1
    \end{array}
    \right]$

    解答例

    $\displaystyle
    \left[\begin{array}{rr}
    5 & 1 \\
    2 & -3 \\
    -1 & 2
    \end{array}
    \right] \left[\begin{array}{rrr}
    4 & 1 & -5 \\
    2 & -1 & 1
    \end{array}
    \right]$

    $=
    \left[\begin{array}{rrr}
    22 & 4 & -24 \\ 2 & 5 & -13 \\ 0 & -3 & 7
    \end{array}
    \right] $

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行列式

次の行列の行列式を求めよう。

  1. ${\rm det}\left[\begin{array}{rrr}
    2 & -1 & -3\\
    -1 & 1 & 2\\
    -3 & 2 & 3\\
    \end{array}\right]$

    解答例

    ${\rm det}\left[\begin{array}{rrr}
    2 & -1 & -3\\
    -1 & 1 & 2\\
    -3 & 2 & 3\\
    \end{array}\right]$

    $=
    (6 + 6 + 6) – ( 9 + 8 + 3) $

    $=
    -2
    $

  2. ${\rm det}\left[\begin{array}{rrrr}
    1 & -2 & 0 & 0
    \\
    -1 & 0 & 2 & 0
    \\
    0 & -1 & 2 & -1
    \\
    0 & 0 & -1 & 3
    \end{array}\right]$

    解答例

    ${\rm det}\left[\begin{array}{rrrr}
    1 & -2 & 0 & 0
    \\
    -1 & 0 & 2 & 0
    \\
    0 & -1 & 2 & -1
    \\
    0 & 0 & -1 & 3
    \end{array}\right]$

    $=
    1\cdot
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrr}
    0 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3
    \end{array}\right] +
    (-2)\cdot (-1)\cdot
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrr}
    -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3
    \end{array}\right]$

    $=
    1 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot
    {\rm det}\left[\begin{array}{rr}
    -1 & -1 \\ 0 & 3
    \end{array}\right] +
    (-2)\cdot (-1)\cdot (-1) \cdot
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrr}
    2 & -1 \\ -1 & 3
    \end{array}\right]$

    $=
    1 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) +
    (-2)\cdot (-1)\cdot (-1) \cdot 5
    = -4
    $

  3. ${\rm det}\left[\begin{array}{rrrrr}
    1&1&1&1&1\\
    1&2&2&2&2\\
    1&2&3&3&3\\
    1&2&3&4&4\\
    1&2&3&4&5
    \end{array}\right]$

    解答例

    ${\rm det}\left[\begin{array}{rrrrr}
    1&1&1&1&1\\
    1&2&2&2&2\\
    1&2&3&3&3\\
    1&2&3&4&4\\
    1&2&3&4&5
    \end{array}\right]$

    $=
    \left( \begin{array}{l}
    \text{2行目に1行目の$-1$倍を加える} \\
    \text{3行目に1行目の$-1$倍を加える} \\
    \text{4行目に1行目の$-1$倍を加える} \\
    \text{5行目に1行目の$-1$倍を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrrrr}
    1&1&1&1&1\\
    0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 2 & 2 & 2 \\
    0 & 1 & 2 & 3 & 3 \\
    0 & 1 & 2 & 3 & 4
    \end{array}\right]$

    $
    =
    1\cdot
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrrr}
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 2 & 2 & 2 \\
    1 & 2 & 3 & 3 \\
    1 & 2 & 3 & 4
    \end{array}\right]$

    $
    =
    \left( \begin{array}{l}
    \text{2行目に1行目の$-1$倍を加える} \\
    \text{3行目に1行目の$-1$倍を加える} \\
    \text{4行目に1行目の$-1$倍を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrrr}
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 2 & 2 \\
    0 & 1 & 2 & 3
    \end{array}\right]$

    $
    =
    1 \cdot
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrr}
    1 & 1 & 1 \\
    1 & 2 & 2 \\
    1 & 2 & 3
    \end{array}\right]$

    $
    =
    \left(\begin{array}{l}
    \text{2行目に1行目の$-1$倍を加える} \\
    \text{3行目に1行目の$-1$倍を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    {\rm det}\left[\begin{array}{rrr}
    1 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 2
    \end{array}\right]$

    $
    =
    1 \cdot
    {\rm det}\left[\begin{array}{rr}
    1 & 1 \\
    1 & 2
    \end{array}\right]$

    $
    =
    \left(\text{
    2行目に1行目の$-1$倍を加える
    }\right)$

    $
    {\rm det}\left[\begin{array}{rr}
    1 & 1 \\
    0 & 1
    \end{array}\right]$

    $
    =
    1
    $

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逆行列

行列
$A = \left[\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 1 & 2
\\
4 & -1 & -5 & 2
\\
-1 & -1 & 5 & 7
\\
1 & 1 & -2 & 0
\end{array}\right]$
の逆行列があるかを調べ、あればそれを求めよう。また、行列 $A$ の余因子行列 $\tilde A$ を求めよう。

解答例
逆行列を求めるための拡大係数行列の行に関する基本変形を行うことで、逆行列が存在するかを調べる。

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0
\\
4 & -1 & -5 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0
\\
-1 & -1 & 5 & 7 & 0 & 0 & 1 & 0
\\
1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]$

$
\to
\left( \begin{array}{l}
\text{1行目と4行目を入れ替える}
\end{array}\right)$

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\\
4 & -1 & -5 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0
\\
-1 & -1 & 5 & 7 & 0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]$

$
\to
\left( \begin{array}{l}
\text{2行目に1行目の$-4$倍を加える} \\
\text{3行目に1行目を加える}
\end{array}\right)$

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\\
0 & -5 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & -4
\\
0 & 0 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 & 1
\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]$

$
\to
\left( \begin{array}{l}
\text{2行目を$-\dfrac 1 5 $倍する}
\end{array}\right)$

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\\
0 & 1 & – \dfrac 3 5 & – \dfrac 2 5 & 0 & – \dfrac 1 5 & 0 & \dfrac 4 5
\\
0 & 0 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 & 1
\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]$

$
\to
\left( \begin{array}{l}
\text{1行目に2行目の$-1$倍を加える}
\end{array}\right)$

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & – \dfrac 7 5 & \dfrac 2 5 & 0 & \dfrac 1 5 & 0 & \dfrac 1 5
\\[10pt] 0 & 1 & – \dfrac 3 5 & – \dfrac 2 5 & 0 & – \dfrac 1 5 & 0 & \dfrac 4 5
\\
0 & 0 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 & 1
\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]$

$
\to
\left( \begin{array}{l}
\text{3行目と4行目を入れ替える}
\end{array}\right)$

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & – \dfrac 7 5 & \dfrac 2 5 & 0 & \dfrac 1 5 & 0 & \dfrac 1 5
\\[10pt] 0 & 1 & – \dfrac 3 5 & – \dfrac 2 5 & 0 & – \dfrac 1 5 & 0 & \dfrac 4 5
\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]$

$
\to
\left( \begin{array}{l}
\text{1行目に3行目の$\dfrac 7 5$倍を加える} \\
\text{2行目に3行目の$\dfrac 3 5$倍を加える} \\
\text{4行目に3行目の$-3$倍を加える}
\end{array}\right)$

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & 0 & \dfrac{16}{5} & \dfrac 7 5 & \dfrac 1 5 & 0 & \dfrac 1 5
\\[10pt] 0 & 1 & 0 & \dfrac 4 5 & \dfrac 3 5 & – \dfrac 1 5 & 0 & \dfrac 4 5
\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]$

$
\to
\left( \begin{array}{l}
\text{1行目に4行目の$-\dfrac {16} 5$倍を加える}\\[5pt] \text{2行目に4行目の$-\dfrac 4 5$倍を加える}\\
\text{3行目に4行目の$-2$倍を加える}
\end{array}\right)$

$
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 11 & \dfrac 1 5 & – \dfrac {16}{5} & -3
\\[10pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & -\dfrac 1 5 & – \dfrac 4 5 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0 & 7 & 0 & -2 & -2
\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right] $

よって $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は存在し、それは
$
\left[\begin{array}{rrrr}
11 & \dfrac 1 5 & – \dfrac {16}{5} & -3
\\[10pt] 3 & -\dfrac 1 5 & – \dfrac 4 5 & 0
\\
7 & 0 & -2 & -2
\\
-3 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right] $
である。
上記の行列の行に関する基本変形より、
${\rm det}(A) = (-1) \cdot (-5) \cdot (-1) = -5$
であることが分かる。よって、
$\tilde A = {\rm det}(A) A^{-1} $

$=
(-5)
\left[\begin{array}{rrrr}
11 & \dfrac 1 5 & – \dfrac {16}{5} & -3
\\[10pt] 3 & -\dfrac 1 5 & – \dfrac 4 5 & 0
\\
7 & 0 & -2 & -2
\\
-3 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]$

$
=
\left[\begin{array}{rrrr}
-55 & -1 & 16 & 15 \\
-15 & 1 & 4 & 0 \\
-35 & 0 & 10 & 10 \\
15 & 0 & -5 & -5
\end{array}\right]$
である。

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連立方程式

次の連立方程式の解を求めよう。

  1. $\left\{\begin{array}{r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r}
    x & + & 2y & + & 2z & = & 3
    \\
    2x & – & 2y & – & 3z & = & 7
    \end{array}\right.$

    解答例
    拡大係数行列の行に関する基本変形をすることで、連立方程式の解を求める。

    $
    \left[\begin{array}{rrrr}
    1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -3 & 7
    \end{array}\right]$

    $
    \to
    \left( \begin{array}{l}
    \text{2行目に1行目の$-2$倍を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    \left[\begin{array}{rrrr}
    1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & -7 & 1
    \end{array}\right]$

    $
    \to
    \left( \begin{array}{l}
    \text{2行目を$-\dfrac 1 6 $倍する}
    \end{array}\right)$

    $
    \left[\begin{array}{rrrr}
    1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & \dfrac 7 6 & – \dfrac 1 6
    \end{array}\right]$

    $
    \to
    \left( \begin{array}{l}
    \text{1行目に2行目の$-2$倍を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    \left[\begin{array}{rrrr}
    1 & 0 & -\dfrac 1 3 & \dfrac{10}{3} \\[10pt] 0 & 1 & \dfrac 7 6 & – \dfrac 1 6
    \end{array}\right] $

    よって、連立方程式の解は

    $
    \left\{\begin{array}{r@{\ }r@{\ }r@{}l}
    x & = & \dfrac 1 3 k & + \dfrac {10}{3} \\[10pt] y & = & – \dfrac 7 6 k & – \dfrac 1 6 \\[10pt] z & = & k
    \end{array}\right.
    \ \ \
    (k\in \mathbb R)
    $

    である。

  2. $\left\{\begin{array}{r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r}
    & & 3y & + & 3z & – & 2w & = & -4
    \\
    x & + & 2y & + & 3z & + & 2w & = & 1
    \\
    x & & & + & z & + & 4w & = & 3
    \\
    2x & + & 3y & + & 5z & + & 5w & = & 3
    \end{array}\right.$

    解答例
    拡大係数行列の行に関する基本変形をすることで、連立方程式の解を求める。

    $
    \left[\begin{array}{rrrrr}
    0 & 3 & 3 & -2 & -4 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 5 & 3
    \end{array}\right]$

    $
    \to
    \left( \begin{array}{l}
    \text{2行目に3行目の$-1$倍を加える} \\
    \text{4行目に3行目の$-2$倍を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    \left[\begin{array}{rrrrr}
    0 & 3 & 3 & -2 & -4 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & -3 & -3
    \end{array}\right]$

    $
    \to
    \left( \begin{array}{l}
    \text{4行目を$\dfrac 1 3 $倍する}
    \end{array}\right)$

    $
    \left[\begin{array}{rrrrr}
    0 & 3 & 3 & -2 & -4 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -1
    \end{array}\right]$

    $
    \to
    \left( \begin{array}{l}
    \text{1行目に4行目の$-3$倍を加える} \\
    \text{2行目に4行目の$-2$倍を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    \left[\begin{array}{rrrrr}
    0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -1
    \end{array}\right]$

    $
    \to
    \left( \begin{array}{l}
    \text{3行目に1行目の$-4$倍を加える} \\
    \text{4行目に1行目を加える}
    \end{array}\right)$

    $
    \left[\begin{array}{rrrrr}
    0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2
    \end{array}\right] $

    よって、連立方程式の解は

    $
    \left\{\begin{array}{r@{\ }r@{\ }r@{}l}
    x & = & -k & +7 \\
    y & = & -k & -2\\
    z & = & k \\
    w & = & -1
    \end{array}\right.
    \ \ \
    (k\in \mathbb R)
    $

    である。

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