「数学II(線形代数A)」

理系基礎科目「数学II(線形代数A)」の問題演習です。なお、記法は教科書に準じています。

和とスカラー倍、積

次の行列の計算をしよう。

  1. 2[312−123]−3[4−1−252−3]

    解答例

    2[312−123]−3[4−1−252−3]

    =[624−246]+[−1236−15−69]

    =[−6510−17−215]

  2. [δi,j]i,j(3,4)+[δi,j−1]i,j(3,4)

    解答例

    [δi,j]i,j(3,4)+[δi,j−1]i,j(3,4)

    =[100001000010]+[010000100001]

    =[110001100011]

  3. [41−52−11][512−3−12]

    解答例

    [41−52−11][512−3−12]

    =[27−977]

  4. [512−3−12][41−52−11]

    解答例

    [512−3−12][41−52−11]

    =[224−2425−130−37]

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行列式

次の行列の行列式を求めよう。

  1. det[2−1−3−112−323]

    解答例

    det[2−1−3−112−323]

    =(6+6+6)–(9+8+3)

    =−2

  2. det[1−200−10200−12−100−13]

    解答例

    det[1−200−10200−12−100−13]

    =1⋅det[020−12−10−13]+(−2)⋅(−1)⋅det[−12002−10−13]

    =1⋅2⋅(−1)⋅det[−1−103]+(−2)⋅(−1)⋅(−1)⋅det[2−1−13]

    =1⋅2⋅(−1)⋅(−3)+(−2)⋅(−1)⋅(−1)⋅5=−4

  3. det[1111112222123331234412345]

    解答例

    det[1111112222123331234412345]

    =(2行目に1行目の−1倍を加える3行目に1行目の−1倍を加える4行目に1行目の−1倍を加える5行目に1行目の−1倍を加える)

    det[1111101111012220123301234]

    =1⋅det[1111122212331234]

    =(2行目に1行目の−1倍を加える3行目に1行目の−1倍を加える4行目に1行目の−1倍を加える)

    det[1111011101220123]

    =1⋅det[111122123]

    =(2行目に1行目の−1倍を加える3行目に1行目の−1倍を加える)

    det[111011012]

    =1⋅det[1112]

    =( 2行目に1行目の−1倍を加える )

    det[1101]

    =1

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逆行列

行列
A=[00124−1−52−1−15711−20]
の逆行列があるかを調べ、あればそれを求めよう。また、行列 A の余因子行列 A~ を求めよう。

解答例
逆行列を求めるための拡大係数行列の行に関する基本変形を行うことで、逆行列が存在するかを調べる。

[001210004−1−520100−1−157001011−200001]

→(1行目と4行目を入れ替える)

[11−2000014−1−520100−1−157001000121000]

→(2行目に1行目の−4倍を加える3行目に1行目を加える)

[11−2000010−532010−40037001100121000]

→(2行目を−15倍する)

[11−20000101–35–250–150450037001100121000]

→(1行目に2行目の−1倍を加える)

[10–752501501501–35–250–150450037001100121000]

→(3行目と4行目を入れ替える)

[10–752501501501–35–250–150450012100000370011]

→(1行目に3行目の75倍を加える2行目に3行目の35倍を加える4行目に3行目の−3倍を加える)

[10016575150150104535–15045001210000001−3011]

→(1行目に4行目の−165倍を加える2行目に4行目の−45倍を加える3行目に4行目の−2倍を加える)

[10001115–165−301003−15–450001070−2−20001−3011]

よって A の逆行列 A−1 は存在し、それは
[1115–165−33−15–45070−2−2−3011]
である。
上記の行列の行に関する基本変形より、
det(A)=(−1)⋅(−5)⋅(−1)=−5
であることが分かる。よって、
A~=det(A)A−1

=(−5)[1115–165−33−15–45070−2−2−3011]

=[−55−11615−15140−3501010150−5−5]
である。

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連立方程式

次の連立方程式の解を求めよう。

  1. {x+2y+2z=32x–2y–3z=7

    解答例
    拡大係数行列の行に関する基本変形をすることで、連立方程式の解を求める。

    [12232−2−37]

    →(2行目に1行目の−2倍を加える)

    [12230−6−71]

    →(2行目を−16倍する)

    [12230176–16]

    →(1行目に2行目の−2倍を加える)

    [10−131030176–16]

    よって、連立方程式の解は

    {x=13k+103y=–76k–16z=k   (k∈R)

    である。

  2. {3y+3z–2w=−4x+2y+3z+2w=1x+z+4w=32x+3y+5z+5w=3

    解答例
    拡大係数行列の行に関する基本変形をすることで、連立方程式の解を求める。

    [033−2−4123211014323553]

    →(2行目に3行目の−1倍を加える4行目に3行目の−2倍を加える)

    [033−2−4022−2−210143033−3−3]

    →(4行目を13倍する)

    [033−2−4022−2−210143011−1−1]

    →(1行目に4行目の−3倍を加える2行目に4行目の−2倍を加える)

    [0001−10000010143011−1−1]

    →(3行目に1行目の−4倍を加える4行目に1行目を加える)

    [0001−100000101070110−2]

    よって、連立方程式の解は

    {x=−k+7y=−k−2z=kw=−1   (k∈R)

    である。

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