研究

研究してきた方程式

楕円型偏微分方程式

• スカラー場型半線形楕円型偏微分方程式の正値解の一意性，非退化性
  \begin{equation}
  \begin{cases}
  \displaystyle u^{\prime\prime}+\frac{N-1}{r}u’+f(u)=0 &\hbox{for } r>0, \\
  u'(0)=0, \ u(r)\to 0 &\hbox{as } r\to\infty, \\
  u(r)>0 &\hbox{for } r\geq 0.
  \end{cases}
  \end{equation}

• 外力項を伴う非線形楕円型偏微分方程式の可解性，多重性
  \begin{equation}
  -\Delta u+u=a(x)u^p+f(x) \quad \hbox{in }\mathbb{R}^N.
  \end{equation}

• 準線形楕円型偏微分方程式の可解性，一意性，$\kappa\to 0^+$のときの漸近挙動
  \begin{equation}
  -\Delta u-\kappa \Delta(|u|^\alpha)|u|^{\alpha-2}u=f(u)\quad \hbox{in }\mathbb{R}^N.
  \end{equation}

• Schrödinger型非線形楕円型偏微分方程式の可解性，$\lambda\to 0^+$のときの漸近挙動
  \begin{equation}
  -\Delta u+V(x)u=\lambda f(u)\quad \hbox{in }\mathbb{R}^N.
  \end{equation}

• 非局所項を持つ非線形楕円型偏微分方程式の可解性，多重性
  \begin{equation}
  M(\|u\|_{H^1(\mathbb{R}^N)})\left(-\Delta u+u\right)=f(x,u) \quad \hbox{in }\mathbb{R}^N.
  \end{equation}

特異ハミルトン系

• 2体問題型特異ハミルトン系の周期軌道存在問題 — prescribed period problem —
  \begin{equation}
  \begin{cases}
  \ddot q+\nabla V(t,q)=0,& \\
  q(t+T)=q(t) &\hbox{for all}\ t\in\mathbb{R}, \\
  q(t)\not\in D. &
  \end{cases}
  \end{equation}

• 2体問題型特異ハミルトン系の周期軌道存在問題 — prescribed energy problem —
  \begin{equation}
  \begin{cases}
  \ddot q+\nabla V(q)=0,& \\
  \displaystyle\frac{1}{2}|\dot q|^2+V(q)=H &\hbox{for all}\ t\in\mathbb{R}, \\
  q(t)\not\in D. &
  \end{cases}
  \end{equation}

その他

• 全空間におけるTrudinger-Moser型不等式とその最良定数
  \begin{equation}
  \int_{\mathbb{R}^N} \exp\left(\alpha\left(\frac{|u(x)|}{\|\nabla u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}}
  \right)^{\frac{N}{N-1}}\right)
  – \sum_{j=0}^{N-2} \frac{1}{j!}\left(\alpha\left(\frac{|u(x)|}{\|\nabla u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}}
  \right)^{\frac{N}{N-1}}\right)^j\, dx
  \leq C \frac{\|u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}^N}{\|\nabla u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}^N}
  \quad \hbox{for } u\in W^{1,N}(\mathbb{R}^N).
  \end{equation}