研究

研究してきた方程式

楕円型偏微分方程式

• スカラー場型半線形楕円型偏微分方程式の正値解の一意性，非退化性
  $$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle u^{\prime \prime }+\frac{N-1}{r}{u}^{\prime }+f(u)=0}& \text{for }r>0,\\ u^{\prime }(0)=0,u(r)\to 0& \text{as }r\to \mathrm{\infty },\\ u(r)>0& \text{for }r\ge 0.\end{array}$$

• 外力項を伴う非線形楕円型偏微分方程式の可解性，多重性
  $$-\mathrm{\Delta }u+u=a(x)u^p+f(x)\text{in }{\mathbb{R}}^N.$$

• 準線形楕円型偏微分方程式の可解性，一意性，$\kappa \to 0^{+}$のときの漸近挙動
  $$-\mathrm{\Delta }u-\kappa \mathrm{\Delta }(|u{|}^{\alpha })|u{|}^{\alpha -2}u=f(u)\text{in }{\mathbb{R}}^N.$$

• Schrödinger型非線形楕円型偏微分方程式の可解性，$\lambda \to 0^{+}$のときの漸近挙動
  $$-\mathrm{\Delta }u+V(x)u=\lambda f(u)\text{in }{\mathbb{R}}^N.$$

• 非局所項を持つ非線形楕円型偏微分方程式の可解性，多重性
  $$M(\Vert u{\Vert }_{H^1({\mathbb{R}}^N)})(-\mathrm{\Delta }u+u)=f(x,u)\text{in }{\mathbb{R}}^N.$$

特異ハミルトン系

• 2体問題型特異ハミルトン系の周期軌道存在問題 — prescribed period problem —
  $$\{\begin{array}{ll}\ddot{q}+\mathrm{\nabla }V(t,q)=0,& \\ q(t+T)=q(t)& \text{for all}t\in \mathbb{R},\\ q(t)\notin D.& \end{array}$$

• 2体問題型特異ハミルトン系の周期軌道存在問題 — prescribed energy problem —
  $$\{\begin{array}{ll}\ddot{q}+\mathrm{\nabla }V(q)=0,& \\ {\displaystyle \frac{1}{2}|\dot{q}{|}^2+V(q)=H}& \text{for all}t\in \mathbb{R},\\ q(t)\notin D.& \end{array}$$

その他

• 全空間におけるTrudinger-Moser型不等式とその最良定数
  $${\int }_{{\mathbb{R}}^N}\exp \left(\alpha {\left(\frac{|u(x)|}{\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^N({\mathbb{R}}^N)}}\right)}^{\frac{N}{N-1}}\right)–\sum _{j=0}^{N-2}\frac{1}{j!}{\left(\alpha {\left(\frac{|u(x)|}{\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^N({\mathbb{R}}^N)}}\right)}^{\frac{N}{N-1}}\right)}^{j}dx\le C\frac{\Vert u{\Vert }_{L^N({\mathbb{R}}^N)}^N}{\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^N({\mathbb{R}}^N)}^N}\text{for }u\in W^{1,N}({\mathbb{R}}^N).$$