変分法
変分的手法の基本的な枠組みは，方程式に対応する汎関数を考え，その汎関数の臨界点として方程式の解を得ることです。臨界点を得るまでの標準的な方法を少し詳しく述べると，まず汎関数の局所的な形状等の幾何的性質を詳しく調べ，その幾何的な情報をもとに最小化法や minimax 法などを用いて臨界値（の候補）の変分的特徴付けを行い，ある種の近似解列（Palais-Smale 列）を構成します。さらにその近似解列の収束性を調べる（Palais-Smale 条件をチェックする）ことにより汎関数の臨界点，すなわち方程式の解を得ます。またこれらの議論の際には，カテゴリー理論やモース理論等を取り入れて，レベルセットの位相不変量の多角的な解析を行う必要があります。
変分法を理解するためのおすすめの本
- 変分問題全般
- 田中 和永，変分問題入門 –非線形楕円型方程式とハミルトン系–
岩波書店，(2008) - P. Rabinowitz, Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations,
CBMS Regional Conference Series Math. 65, Amer. Math. Soc., Providence, (1986) - M. Struwe, Variational Methods (4th edition),
Springer Verlag, (2008) - M. Willem, Minimax Theorems (PNLDE 24),
Birkhäuser, (1996) - A. Ambrosetti and A. Malchiodi, Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems,
Cambridge studies in advanced mathematics 104, Cambrige University Press, (2007) - David G. Costa, An Invitation to Variational Methods in Differential Equations,
Birkhäuser, (2007) - ハミルトン系
- A. Ambrosetti and V. Coti Zelati, Periodic Solutions of Singular
Lagrangian Systems (PNLDE 10), Birkhäuser, (1993) - minimax 法
- Y. Jabri, The Mountain Pass Theorem,
Encyclopedia of Mathematics and its Applications 95, Cambridge University Press, (2003) - 写像度
- L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis,
Courant Lecture Notes, American Mathematical Society, (2001) - 最大値原理
- H. Protter and F. Weinberger, Maximum Principles in Differential Equations,
Springer, (1999) - P. Pucci and J. Serrin, The Maximum Principle,
Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications 73, Birkhäuser, (2007) - 関数空間
- Robert A. Adams and John J. F. Fournier, Sobolev Spaces (2nd edition),
PURE AND APPLIED MATHEMATICS series 140, ELSEVIER, (2003) - H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,
Springer, (2010)（藤田 宏 監訳「関数解析」の英語版である。 日本語化されていない [Ex]（と思われるもの）が載っている。） - 宮島 静雄，ソボレフ空間の基礎と応用
共立出版，(2006) - 小川 卓克，非線型発展方程式の実解析的方法
シュプリンガー現代数学シリーズ，丸善出版，(2013)