研究

研究

これまで研究してきた方程式

楕円型偏微分方程式

  • スカラー場型半線形楕円型偏微分方程式の正値解の一意性,非退化性
    \begin{equation}
    \begin{cases}
    \displaystyle u^{\prime\prime}+\frac{N-1}{r}u’+g(u)=0 \quad \hbox{for } r>0, \\
    u'(0)=0, \ u(r)\to 0 \quad \hbox{as } r\to\infty, \\
    u(r)>0\quad \hbox{for } r\geq 0.
    \end{cases}
    \end{equation}

  • コンパクト性が成立しない非線形楕円型偏微分方程式の可解性,一意性,多重性
    \begin{equation}
    -\Delta u=f(x,u) \quad \hbox{in }\mathbb{R}^N.
    \end{equation}

  • 準線形楕円型偏微分方程式の可解性,一意性,漸近挙動
    \begin{equation}
    -\Delta u-\kappa \Delta(|u|^\alpha)|u|^{\alpha-2}u=f(x,u)\quad \hbox{in }\mathbb{R}^N.
    \end{equation}

  • 非局所項を持つ非線形楕円型偏微分方程式の可解性,多重性
    \begin{equation}
    M(\|u\|_{H^1(\mathbb{R}^N)})\left(-\Delta u+u\right)=f(x,u) \quad \hbox{in }\mathbb{R}^N.
    \end{equation}

特異ハミルトン系

  • 2体問題型特異ハミルトン系の周期軌道存在問題 — prescribed period problem —
    \begin{equation}
    \begin{cases}
    \ddot q+\nabla V(t,q)=0,& \\
    q(t+T)=q(t) &\hbox{for all}\ t\in\mathbb{R}, \\
    q(t)\not\in D. &
    \end{cases}
    \end{equation}

  • 2体問題型特異ハミルトン系の周期軌道存在問題 — prescribed energy problem —
    \begin{equation}
    \begin{cases}
    \ddot q+\nabla V(q)=0,& \\
    \displaystyle\frac{1}{2}|\dot q|^2+V(q)=H &\hbox{for all}\ t\in\mathbb{R}, \\
    q(t)\not\in D. &
    \end{cases}
    \end{equation}

その他

  • 全空間におけるTrudinger-Moser型不等式とその最良定数
    \begin{equation}
    \int_{\mathbb{R}^N} \exp\left(\alpha\left(\frac{|u(x)|}{\|\nabla u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}}
    \right)^{\frac{N}{N-1}}\right)
    – \sum_{j=0}^{N-2} \frac{1}{j!}\left(\alpha\left(\frac{|u(x)|}{\|\nabla u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}}
    \right)^{\frac{N}{N-1}}\right)^j\, dx
    \leq C \frac{\|u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}^N}{\|\nabla u\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}^N}
    \quad \hbox{for } u\in W^{1,N}(\mathbb{R}^N).
    \end{equation}